正态分布计算器

什么是正态分布？

正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布，是统计学中最重要的连续概率分布。它的概率密度函数呈钟形曲线，由均值μ和标准差σ唯一确定。均值决定曲线的中心位置，标准差决定曲线的宽度（离散程度）。

主要特征

• 对称性：曲线关于均值μ对称。
• 68-95-99.7法则：约68%的数据落在μ±σ内，95%落在μ±2σ内，99.7%落在μ±3σ内。
• 峰度与偏度：正态分布的峰度为3，偏度为0。
• 中心极限定理：大量独立随机变量之和近似服从正态分布。

概率计算说明

概率密度 f(x)

公式：f(x) = 1/(σ√(2π)) · e^(-(x-μ)²/(2σ²))。表示在x处的概率密度值，并非概率本身。

累积概率 P(X ≤ x)

即分布函数F(x)，通过误差函数计算。本工具采用近似算法，精度达10⁻⁶。

区间概率 P(a ≤ X ≤ b)

等于F(b) - F(a)。直观反映随机变量落在指定范围内的可能性。

应用场景

• 质量控制：产品规格限内的合格率估算。
• 金融风险：资产收益率分布的建模（常假设正态）。
• 教育测量：考试成绩的标准化与百分等级计算。
• 自然科学：测量误差、生物特征（如身高）的分布。

常见问题

标准差为什么不能为0？

标准差为0表示数据无波动，此时分布退化为单点分布，概率密度函数不再是钟形曲线，而是狄拉克δ函数。本工具强制σ>0以保证正态分布有意义。

为什么累积概率有时显示1.000？

当x远大于均值（如x > μ+6σ）时，累积概率极接近1，受浮点精度限制显示为1。实际仍略小于1。

区间概率结果可能为负数吗？

不会，如果上限小于下限，工具会自动交换以确保a≤b，因此结果始终非负。

图表上的曲线如何生成？

在[μ-4σ, μ+4σ]范围内均匀取200个点，计算各点的概率密度值，用ECharts绘制光滑曲线。调整参数时曲线实时更新。